Здравствуйте! Дорогие мои ученики, в этой статье мы научимся с вами решать показательные неравенства.
Каким бы сложным не показалось вам показательное неравенство, после некоторых преобразований (о них мы поговорим чуть позже) все неравенства сводятся к решению простейших показательных неравенств :
а х > b , a x < b и a x ≥ b , a x ≤ b .
Давайте попробуем разобраться как же решаются такие неравенства.
Мы рассмотрим решение строгих неравенств . Отличие при решении нестрогих неравенств заключается только в том, что полученные соответствующие корни включаются в ответ.
Пусть надо решить неравенство вида а f (x) > b , где a>1 и b>0 .
Посмотрите на схему решения таких неравенств (рисунок 1):
Сейчас рассмотрим конкретный пример. Решить неравенство: 5 х – 1 > 125 .
Так как 5 > 1 и 125 > 0, то
х – 1 >
log
5
125, то есть
х – 1 > 3,
х > 4.
Ответ: (4; +∞) .
А каким же будет решение этого же неравенства а f (x) >b , если 0 и b>0 ?
Итак, схема на рисунке 2
Пример: Решить неравенство (1/2) 2x - 2 ≥ 4
Применяя правило (рисунок 2), получаем
2х – 2 ≤ log
1/2 4,
2х – 2 ≤ –2,
2х ≤ 0,
х ≤ 0.
Ответ: (–∞; 0] .
Снова рассмотрим это же неравенство а f (x) > b , если a>0 и b<0 .
Итак, схема на рисунке 3:
Пример решения неравенства (1/3) х + 2 > –9 . Как мы замечаем, какое бы число мы не подставили вместо х, (1/3) х + 2 всегда больше нуля.
Ответ: (–∞; +∞) .
А как же решаются неравенства вида а f (x) < b , где a>1 и b>0 ?
Схема на рисунке 4:
И следующий пример: 3 3 – х ≥ 8
.
Поскольку 3 > 1 и 8 > 0, то
3 – х > log
3 8, то есть
–х > log
3 8 – 3,
х < 3 – log
3 8.
Ответ: (0; 3–log 3 8) .
Как же измениться решение неравенства а f (x) < b , при 0 и b>0 ?
Схема на рисунке 5:
И следующий пример: Решить неравенство 0,6 2х – 3 < 0,36 .
Cледуя схеме на рисунке 5, получаем
2х – 3 > log
0,6
0,36
,
2х – 3 > 2,
2х > 5,
х > 2,5
Ответ: (2,5; +∞) .
Рассмотрим последнюю схему решения неравенства вида а f (x) < b , при a>0 и b<0 , представленную на рисунке 6:
Например, решим неравенство:
Замечаем, что какое бы число мы не подставили вместо х, левая часть неравенства всегда больше нуля, а у нас это выражение меньше -8, т.е. и нуля, значит решений нет.
Ответ: решений нет .
Зная как решаются простейшие показательные неравенства, можно приступить и к решению показательных неравенств .
Пример 1.
Найти наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравеству
Так как 6 х больше нуля (ни при каком х знаменатель в ноль не обращается), умножим обе части неравенства на 6 х, получим:
440 – 2· 6 2х > 8, тогда
– 2· 6 2х > 8 – 440,
– 2· 6 2х > – 332,
6 2х < 216,
2х < 3,
x < 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.
Ответ: 1 .
Пример 2 .
Решить неравенство 2 2 x – 3·2 x + 2 ≤ 0
Обозначим 2 х через у, получим неравенство у 2 – 3у + 2 ≤ 0, решим это квадратное неравенство.
у 2 – 3у +2 = 0,
у 1 = 1 и у 2 = 2.
Ветви параболы направлены вверх, изобразим график:
Тогда решением неравенства будет неравенство 1 < у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.
Ответ: (0; 1) .
Пример 3
. Решите неравенство 5 x +1 – 3 x +2 < 2·5 x – 2·3 x –1
Соберем выражения с одинаковыми основаниями в одной части неравенства
5 x +1 – 2·5 x < 3 x +2 – 2·3 x –1
Вынесем в левой части неравенства за скобки 5 x , а в правой части неравенства 3 х и получим неравенство
5 х (5 – 2) < 3 х (9 – 2/3),
3·5 х < (25/3)·3 х
Разделим обе части неравенства на выражение 3·3 х, знак неравенства не изменится, так как 3·3 х положительное число, получим неравенство:
х < 2 (так как 5/3 > 1).
Ответ: (–∞; 2) .
Если у вас возникнут вопросы по решению показательных неравенств или вы захотите попрактиковаться в решении подобных примеров, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.
Что такое линейное неравенство?
В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.
Определение 1
Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a · x + b > 0 , когда вместо > используется любой знак неравенства < , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .
Определение 2
Неравенства a · x < c или a · x > c , с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной .
Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0 , тогда строгое неравенство вида 0 · x > c и 0 · x < c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.
Их различия заключаются в:
- форме записи a · x + b > 0 в первом, и a · x > c – во втором;
- допустимости равенства нулю коэффициента a , a ≠ 0 - в первом, и a = 0 - во втором.
Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.
Определение 3
Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a · x + b < 0 , a · x + b > 0 , a · x + b ≤ 0 и a · x + b ≥ 0 , где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.
Исходя из правила, имеем, что 4 · x − 1 > 0 , 0 · z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 · x - 2 < 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x > 7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 называют сводящимися к линейному.
Как решить линейное неравенство
Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x < p (≤ , > , ≥) , p являющееся некоторым числом, при a ≠ 0 , а вида a < p (≤ , > , ≥) при а = 0 .
Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.
Используя равносильные преобразования
Чтобы решить линейное неравенство вида a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) , необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.
Определение 4
Алгоритм решение линейного неравенства a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0
- число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a · x < − b (≤ , > , ≥) ;
- будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0 . Причем, когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.
Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.
Пример 1
Решить неравенство вида 3 · x + 12 ≤ 0 .
Решение
Данное линейное неравенство имеет a = 3 и b = 12 . Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.
Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3 · x ≤ − 12 . Необходимо произвести деление обеих частей на 3 . Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3 · x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , что даст результат x ≤ − 4 .
Неравенство вида x ≤ − 4 является равносильным. То есть решение для 3 · x + 12 ≤ 0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4 . Ответ записывается в виде неравенства x ≤ − 4 , или числового промежутка вида (− ∞ , − 4 ] .
Весь выше прописанный алгоритм записывается так:
3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .
Ответ: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .
Пример 2
Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .
Решение
Из условия видим, что коэффициент a при z равняется - 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.
Производим деление обеих частей уравнения на число - 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7) < 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Весь алгоритм запишем в краткой форме:
− 2 , 7 · z > 0 ; z < 0 .
Ответ: z < 0 или (− ∞ , 0) .
Пример 3
Решить неравенство - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .
Решение
По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется - 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь - 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести - 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на - 5 , изменить знак неравенства:
5 · x ≤ 15 22 ; - 5 · x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Ответ: x ≥ - 3 22 и [ - 3 22 + ∞) .
Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b < 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b < 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b < 0 (≤ , > , ≥) :
Определение 5
Числовое неравенство вида b < 0 (≤ , > , ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.
Пример 4
Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .
Решение
Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.
Ответ : промежуток (− ∞ , + ∞) .
Пример 5
Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .
Решение
При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Рассмотрим решение линейных неравенств, где оба коэффициента равняется нулю.
Пример 6
Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .
Решение
При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.
Ответ : неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.
Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.
Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.
Определение 6
Метод интервалов – это:
- введение функции y = a · x + b ;
- поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
- определение знаков для понятия их на промежутках.
Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:
- нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
- построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
- определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
- решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.
Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.
Пример 6
Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .
Решение
Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.
Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (− ∞ , 4) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.
Определяем знак из промежутка (4 , + ∞) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.
Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (− ∞ , 4) или x < 4 .
Ответ : (− ∞ , 4) или x < 4 .
Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 < 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 > 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x < 2 , x ≤ 2 , x > 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.
Видно, что
Определение 7
- решением неравенства 0 , 5 · x − 1 < 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
- решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х;
- решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.
Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х.
Определение 8Построение графика функции y = a · x + b производится:
- во время решения неравенства a · x + b < 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
- во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х;
- во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.
Пример 7
Решить неравенство - 5 · x - 3 > 0 при помощи графика.
Решение
Необходимо построить график линейной функции - 5 · x - 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х - 5 · x - 3 > 0 получим значение - 3 5 . Изобразим графически.
Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что
Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч - ∞ , - 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки - 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х.
Ответ : - ∞ , - 3 5 или x < - 3 5 .
Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.
Пример 8
Определить из неравенств 0 · x + 7 < = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Решение
Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х. Значит, 0 · x + 7 < = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х. Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.
Ответ : второе неравенство имеет решение при любом значении x .
Неравенства, сводящиеся к линейным
Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.
Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x - 3 5 - 2 · x + 1 > 2 7 · x .
Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.
При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:
7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0
Это приводит решение к линейному неравенству.
Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.
Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:
Определение 9
- раскрыть скобки;
- слева собрать переменные, а справа числа;
- привести подобные слагаемые;
- разделить обе части на коэффициент при x .
Пример 9
Решить неравенство 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .
Решение
Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.
Ответ : нет решений.
Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования
Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F
= C
1 x
+ C
2 y
, которую необходимо максимизировать.
Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x
; y
) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x
– 5 y
≥ 42 удовлетворяют пары (x
, y
) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax
+ by
≤ c
, ax
+ by
≥ c
. Прямая ax
+ by
= c
делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax
+ by
>c
, а другой неравенству ax
+ +by
<c
.
Действительно, возьмем точку с координатой x
= x
0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x
0 , имеет ординату
Пусть для определенности a
< 0, b
>0,
c
>0. Все точки с абсциссой x
0 , лежащие выше P
(например, точка М
), имеют y M
>y
0 , а все точки, лежащие ниже точки P
, с абсциссой x
0 , имеют y N
<y
0 .
Поскольку x
0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки,
для которых ax
+ by
> c
, образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax
+ by
< c
.
Рисунок 1
Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a
, b
, c
.
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:
- Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
- Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
- Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
- Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.
Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.
Рассмотрим три соответствующих примера.
Пример 1.
Решить графически систему:
x
+ y –
1 ≤ 0;
–2 x –
2y
+ 5 ≤ 0.
- рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
- построим прямые, задающиеся этими уравнениями.
Рисунок 2
Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x
+ y–
1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x
+ y
–
1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства.
Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x
– 2y
+ 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x
– 2y
+ 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.
Пример 2.
Найти графически решения системы неравенств:
Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x
+ 2y
– 2 = 0
x | 2 | 0 |
y | 0 | 1 |
y – x – 1 = 0
x | 0 | 2 |
y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых
Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).
Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.
Вида ах 2 + bх + 0 0, где (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся.
Пример 1 . Решить неравенство:
а) х 2 - 2х - 3 >0; б) х 2 - 2х - 3 < 0;
в) х 2 - 2х - 3 > 0; г) х 2 - 2х - 3 < 0.
Решение,
а) Рассмотрим параболу у = х 2 - 2х - 3, изображенную на рис. 117.
Решить неравенство х 2 - 2х - 3 > 0 - это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.
Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.
Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (- 00 , - 1), а также все точки открытого луча (3, +00).
Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (-00 , - 1) U (3, +00). Впрочем, ответ можно записать и так: х < - 1; х > 3.
б) Неравенство х 2 - 2х - 3 < 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
в) Неравенство х 2 - 2х - 3 > 0 отличается от неравенства х 2 - 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х 2 - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = -1
и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-00 , - 1], а также все точки луча .
Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах 2 + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной функции
у = ах 2 + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы - вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.
Пример 2.
Решить неравенство - 2х 2 + Зх + 9 < 0.
Решение.
1) Найдем корни квадратного трехчлена - 2х 2 + Зх + 9: х 1 = 3; х 2 = - 1,5.
2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х 2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и - 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент - отрицательное число - 2. На рис. 118 представлен набросок графика.
3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Ответ: х < -1,5; х > 3.
Пример 3.
Решить неравенство 4х 2 - 4х + 1 < 0.
Решение.
1) Из уравнения 4х 2 - 4х + 1 = 0 находим .
2) Квадратный трехчлен имеет один корень ; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а касается ее в точке . Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)
3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке , поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны.
Ответ: .
Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3 использовался вполне определенный алгоритм
решения квадратных неравенств, оформим его.
Алгоритм решения квадратного неравенства ах 2 + bх + 0 0 (ах 2 + bх + с < 0)
На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.
Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах 2 + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с < 0 не имеет решений.
Доказательство.
Графиком функции
у = ах 2 + bх + с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с > 0, что и требовалось доказать.
Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с > 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у = ах 2 + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
Пример 4 . Решить неравенство:
а) 2х 2 - х + 4 >0; б) -х 2 + Зх - 8 >0.
а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х 2 - х + 4. Имеем D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31 < 0.
Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен.
Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2x 2 - х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся (-00 , + 00).
б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена - х 2 + Зх - 8. Имеем D = З2 - 4 (- 1) (- 8) = - 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Ответ: а) (-00 , + 00); б) нет решений.
В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.
Пример 5.
Решить неравенство Зх 2 - 10х + 3 < 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx 2 - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и , поэтому воспользовавшись ах 2 + bх + с = а (х - x 1)(x - х 2),получим Зx 2 - 10х + 3 = 3(х - 3) (х - )
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и (рис. 122).
Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x->0, а значит, и произведение 3(х - 3)(х - ) положительно. Далее, пусть < х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следовательно, произведение 3(х-3)(х-) отрицательно. Пусть, наконец, х <; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) положительно.
Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки квадратного трехчлена Зx 2 - 10х + 3 изменяются так, как показано на рис. 122. Нас же интересует, при каких х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Из рис. 122 делаем вывод: квадратный трехчлен Зx 2 - 10х + 3 принимает отрицательные значения для любого значения х из интервала (, 3)
Ответ (, 3), или < х < 3.
Замечание. Метод рассуждений, который мы применили в примере 5, обычно называют методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим метод интервалов более детально.
Пример 6
. При каких значениях параметра р квадратное уравнение х 2 - 5х + р 2 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет -корней?
Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р 2 .
а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р 2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р 2 - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123.
Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
б) квадратное уравнение
имеет один корень, если D - 0.
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.
Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.
в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
Получаем 4р 2 - 25 > 0; 4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: а) при р (-2,5, 2,5);
б) при р = 2,5 илир = -2,5;
в) при р < - 2,5 или р > 2,5.
Мордкович А. Г., Алгебра
. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.
Помощь школьнику онлайн , Математика для 8 класса скачать , календарно-тематическое планирование
Одна из тем, которая требует от учеников максимума внимания и усидчивости, это решение неравенств. Такие похожие на уравнения и при этом сильно от них отличающиеся. Потому что к их решению нужен особый подход.
Свойства, которые потребуются для нахождения ответа
Все они применяются для того, чтобы заменить имеющуюся запись равносильной. Большая их часть похожа на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.
- Функцию, которая определена в ОДЗ, или любое число можно прибавить к обеим частям исходного неравенства.
- Аналогичным образом возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
- Если это действие выполняется с отрицательными функцией или числом, то знак неравенства нужно заменить на противоположный.
- Функции, которые являются неотрицательными, можно возводить в положительную степень.
Иногда решение неравенств сопровождается действиями, которые дают посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив область ОДЗ и множество решений.
Использование метода интервалов
Его суть состоит в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.
- Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
- Преобразовать неравенство с помощью математических операций так, чтобы в его правой части стоял ноль.
- Знак неравенства заменить на «=» и решить соответствующее уравнение.
- На числовой оси отметить все ответы, которые получились во время решения, а также интервалы ОДЗ. При строгом неравенстве точки нужно нарисовать выколотыми. Если присутствует знак равенства, то их полагается закрасить.
- Определить знак исходной функции на каждом интервале, получившемся из точек ОДЗ и делящих его ответов. Если при переходе через точку знак функции не изменяется, то она входит в ответ. В противном случае — исключается.
- Граничные для ОДЗ точки нужно дополнительно проверить и только потом включать или нет в ответ.
- Ответ, который получается, нужно записать в виде объединенных множеств.
Немного о двойных неравенствах
Они используют в записи сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция ограничена условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются, как система из двух, когда исходное разбито на части. И в методе интервалов указываются ответы от решения обоих уравнений.
Для их решения также допустимо использовать свойства, указанные выше. С их помощью удобно приводить неравенство к равенству нулю.
Как обстоят дела с неравенствами, в которых имеется модуль?
В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, причем они справедливы для положительного значения «а».
Если «х» принимает алгебраическое выражение, то справедливы такие замены:
- |х| < a на -a < х < a;
- |х| > a на х < -a или х > a.
Если неравенства нестрогие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, появляется «=».
Как осуществляется решение системы неравенств?
Это знание потребуется в тех случаях, когда дано такое задание или имеется запись двойного неравенства или в записи появился модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем имеющимся в записи неравенствам. Если таких чисел нет, то система решений не имеет.
План, по которому выполняется решение системы неравенств:
- решить каждое из них отдельно;
- изобразить на числовой оси все интервалы и определить их пересечения;
- записать ответ системы, который и будет объединением того, что получилось во втором пункте.
Как быть с дробными неравенствами?
Поскольку во время их решения может потребоваться изменение знака неравенства, то нужно очень тщательно и внимательно выполнять все пункты плана. Иначе может получиться противоположный ответ.
Решение дробных неравенств тоже использует метод интервалов. И план действий будет таким:
- Используя описанные свойства, придать дроби такой вид, чтобы справа от знака остался только ноль.
- Заменить неравенство на «=» и определить точки, в которых функция будет равна нулю.
- Отметить их на координатной оси. При этом числа, получившиеся в результате расчетов в знаменателе, всегда будут выколоты. Все другие — исходя из условия неравенства.
- Определить интервалы знакопостоянства.
- В ответ записать объединение тех промежутков, знак которых соответствует тому, который был в исходном неравенстве.
Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность
Другими словами, в записи присутствует математический корень. Поскольку в школьном курсе алгебры большая часть заданий идет для квадратного корня, то именно он и будет рассмотрен.
Решение иррациональных неравенств сводится к тому, чтобы получить систему из двух или трех, которые будут равносильны исходному.
Исходное неравенство | условие | равносильная система |
√ n(х) < m(х) | m(х) меньше или равно 0 | решений нет |
m(х) больше 0 | n(х) больше или равно 0 n(х) < (m(х)) 2 |
|
√ n(х) > m(х) | m(х) больше или равно 0 n(х) > (m(х)) 2 |
|
n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0 |
||
√n(х) ≤ m(х) | m(х) меньше 0 | решений нет |
m(х) больше или равно 0 | n(х) больше или равно 0 n(х) ≤ (m(х)) 2 |
|
√n(х) ≥ m(х) | m(х) больше или равно 0 n(х) ≥ (m(х)) 2 |
|
n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0 |
||
√ n(х) < √ m(х) | n(х) больше или равно 0 n(х) меньше m(х) |
|
√n(х) * m(х) < 0 | n(х) больше 0 m(х) меньше 0 |
|
√n(х) * m(х) > 0 | n(х) больше 0 m(х) больше 0 |
|
√n(х) * m(х) ≤ 0 | n(х) больше 0 |
|
n(х) равно 0 m(х) -любое |
||
√n(х) * m(х) ≥ 0 | n(х) больше 0 |
|
n(х) равно 0 m(х) -любое |
Примеры решения разных видов неравенств
Для того чтобы добавить наглядности в теорию про решение неравенств, ниже приведены примеры.
Первый пример. 2х - 4 > 1 + х
Решение: для того чтобы определить ОДЗ, достаточно просто внимательно посмотреть на неравенство. Оно образовано из линейных функций, поэтому определено при всех значениях переменной.
Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1 + х). Получается: 2х - 4 - (1 + х) > 0. После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые неравенство примет такой вид: х - 5 > 0.
Приравняв его к нулю, легко найти его решение: х = 5.
Теперь эту точку с цифрой 5, нужно отметить на координатном луче. Потом проверить знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, получившееся после преобразований. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно подписать знак минуса.
На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда получается, что 1 > 0. Под дугой подписан знак «+». Этот второй интервал и будет ответом неравенства.
Ответ: х лежит в интервале (5; ∞).
Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3х + 3 ≤ 2х + 1 и 3х - 2 ≤ 4х + 2.
Решение. ОДЗ этих неравенств тоже лежит в области любых чисел, поскольку даны линейные функции.
Второе неравенство примет вид такого уравнения: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. После преобразования: -х - 4 =0. Из него получается значение для переменной, равное -4.
Эти два числа нужно отметить на оси, изобразив интервалы. Поскольку неравенство нестрогое, то все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть будет выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Значит, этот промежуток не входит в ответ.
Второй интервал от -4 до -2. Можно выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Значит, под дугой «-».
На последнем интервале от -2 до бесконечности самым лучшим числом является ноль. Его и нужно подставить и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а втором ноль. Этот промежуток тоже нужно исключить из ответа.
Из трех интервалов решением неравенства является только один.
Ответ: х принадлежит [-4; -2].
Третий пример. |1 - х| > 2 |х - 1|.
Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.
На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».
Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.
Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.
С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.
На первом получается такое неравенство: 2 - х > - 2 (х - 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.
После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.
На втором: 2 - х > 2 (х - 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.
Последний дает такую запись неравенства: - (2 - х) > 2 (х - 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.
На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.
Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).